A diákok egy része még évekkel a nagy nehezen letudott matek érettségi után is átéli álmában azokat a valóban „felejthetetlen” pillanatokat, amikor a vizsgabizottság előtt számot kellett adnia a tantárgybeli tudásáról. De vajon miért kellett anno ennek ilyen keservesen történnie – hisz a hatvanas években még Zalatnay Sarolta is megénekelte a slágerében: „Jaj a matek miért oly nehéz nekem?” – illetve van-e más mód, hogy a diák közelebb kerüljön ehhez a rettegett tárgyhoz. Ezt a más módot, egy járható utat nyújt olvasóinak a százezrek (!) által látogatott és használt mateking.hu weboldal. Vezetőjével, Mosóczi Andrással készítettünk interjút, aki matematikaguruként nem csak tanítja, de meg is szeretteti sokakkal ezt a szép, de nehéz(nek tűnő) tudományt.
Jelen írásban őt ennek az alaptudománynak – mert sokan úgy vélik a matematika törvényszerűségei minden tudományos, művészeti alkotásban, de még a létezés legelemibb formáiban is jelen vannak – néhány érdekes háttér információjáról kérdeztük. S talán ezek elolvasása után olvasóink is kicsit más szemmel néznek majd Püthagorasz több ezer éves tételére, vagy bankkártyájuk PIN kódjára.
– Azt mondják mindennek az alapja a matematika, de vajon a táradalom kellőképpen magasra értékeli ezt a tudományt?
– Elsőként azt mondhatnám, hogy nem, a matematika meglehetősen mostohagyerek a tudományok között, még matematikai Nobel-díjat sem ítélnek oda senkinek. Talán azt is kevesen tudják, hogy a naptárban létezik egy úgynevezett pi nap, vagyis a matematika világnapja, a tudományág nemzetközi ünnepe. S mikor máskor is lenne ez az ünnepnap, mint március 14.-én, vagyis 3.14 napján az évnek. S ha már itt tartunk, kicsit mélyedjünk is el ebben a pi (Ludolph féle) számban, amit mind a matematika, mind a fizika használ. Tudjuk, hogy a kör átmérője 3.14-szer mérhető fel a kör kerületére, ezt már az ókorban is tudták. De azt is tudjuk, hogy a gyakorlatban egy kerekített számmal számolunk, felmerül a kérdés, hány tizedes jegy után kapnánk végső értéket? A pi pont egy olyan szám, amiben nincs szakaszos ismétlődés. Nem tudom, hány tízbillió tizedesig már kiszámolta a számítógép az értékét, de nincsen benne törvényszerűség, ezért azt mondjuk a pi egy irracionális szám. A racionális számok azok, amik szakaszosak, tehát ismétlődnek a számjegyeik egy idő után, viszont a pi egy irracionális szám, így nincs benne ismétlődés. De ez egy transzcendens szám is, ami azt jelenti, hogy nincs olyan algebrai polinom – vagyis egyszerűbben szám – aminek ez a szám a gyöke lenne. Vannak tehát olyan számok, amik nem algebrai számok – egyébként ezekből több van, mint algebraiból – a pí is egy ilyen. Ezeket transzcendens számoknak is hívják. Nagyon misztikusan hangzik, de valójában semmi extra nincs benne.
– A matematika azonban nem csak számokból, hanem a diákok életét megkeserítő tételekből is áll, ezek mi célt szolgálnak?
– Azt kell megérteni, hogy a matematikában a tételek nem azért jöttek létre, hogy megnehezítsék az életünket, hanem hogy megkönnyítsük. Ez azt akarja jelenteni, hogy a matematika tulajdonképpen úgy működik, hogy problémákat old meg. De hogyha ugyanaz a probléma nagyon sokszor előjön, akkor ezt nem oldjuk meg mindig újra és újra és újra, hanem kimondjuk azt, hogy ezt már egyszer ilyen úton megoldottuk, és az ilyen típusú problémákat ezek után mindig így kell majd megoldani. Röviden ezt hívjuk tételnek. Ha ezt így tanítanák, akkor a diákok is sokkal természetesebb úton tanulnák meg a tételeket, és sokkal könnyebben meg tudnák jegyezni és meg tudnák érteni azokat. Térjünk át két másik fontos szereplőre is a definícióra, és az axiomára. Az axiómák azok az alapegységek, amiket nem lehet definiálni, ezeket el kell fogadnunk bizonyítás nélkül, hogy vannak. A definíció pedig tulajdonképpen az, hogy miről is beszélünk, a dolgok meghatározása. Tehát a matematika az definíciókból, axiómákból és tételekből építkezik. Vegyünk például egy alapfogalmat, például azt, hogy mi az, hogy egyenes. Ha körülnézünk, hát nem látunk itt sehol egyenest. Vagy mi az a harmadik? Ugye, azt sem látjuk sehol. Vagy mik azok a számok, mi az, hogy egy? Hát van egy darab villa, két darab villa, de hát ez nem egy, hanem ez egy villa. Tehát az, hogy egy, az egy olyan valami, ami itt lebeg körülöttünk – ezeket hívják axiómáknak – de ezekkel nem lehet mit kezdeni. Mivel a matematika úgy működik, hogy absztrakt dolgokkal foglalkozik, az akciómák és a definíciók, illetve amik az akciómákból kijönnek ezek alapvetően nem létező, nem érzékelhető dolgok. S aztán utána jönnek a tételek, amiket ugye pedig bizonyítani kell. A definíciókat, azokat szintén úgy lehet jól megjegyezni vagy megtanulni, hogy konkrét példákat mutatunk be velük.
– Említi, hogy a matematika absztrakt, elvont dolgokkal foglalkozik, de az eredményei nagyon is valósak mégis.
– Amikor a nagy matematikusok – mondjuk Newton vagy Leibnitz – kitaláltak dolgokat, akkor azokat nem úgy találták ki, hogy ültek az elefántcsonttoronyban, és azon gondolkodtak, hogy most valami nagyon bonyolult matematikai tételt fogok majd kitalálni, hanem problémákkal foglalkoztak. Odajött hozzájuk egy király, vagy egy mérnök, vagy másvalaki, akinek gondjai adódtak bizonyos feladatok megoldásával, és felkérte a matematikusokat, hogy próbálják ezt valahogy megoldani. Például a matematikusok foglalkoztak térképészettel. A térképészettel sem hobbiból, hanem mert ha egy ország erős akar lenni, akkor jó kell, hogy legyen a katonaság és a hadsereg. A jó hadsereg alapja pedig a jó térképészet. Mert térképészet nélkül nem tudnak a hadosztályok mozogni, tehát valójában egy elég önző érdekből, de felkérték őket, hogy foglalkozzanak a térképekkel. Melléktermékként kipottyant egy csomó matematikai összefüggés. amiket ki is dobhattak volna a kukába, de helyette ezeket összegyűjtötték és publikálták, így segítve az utókort.
– Azt is mondják a matematika szabályai örökérvényűek, ez valóban így van?
– Ez már csak nézőpont kérdése, hogy a matematika vajon egy létező örök igazság – és akkor mi csak ezt megismerjük, felfedezzük – vagy egy olyan dolog, amit mi találunk ki. Én úgy gondolom, hogy inkább egy olyan dolog, amit mi találunk ki. A matematikának sok elmélete van, és ezek az emberi tényezők nélkül nem jöhetnének létre. Ilyen szempontból a matematika egy abszolút igazság és abszolút érvényű igazságokat mond ki. De ezeket mégis emberek mondják ki, tehát, ha mondjuk, dinoszauruszok élnének itt a Földön és nem mi, akkor el tudom képzelni, hogy ők valami másfajta matematikát használnának. Például, ha már itt tartunk, akkor a geometriából is van többféle, mert van az euklideszi geometria, meg van a gömbi geometria, meg van a Bólyai-féle geometria, meg nagyon sok egyéb is. Az sem evidens, hogy az iskolában miért az euklideszi geometriát tanítják, hiszen a Föld, amin élünk, az egy gömb alakú égitest. Azt tudjuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180 fok. Viszont rajzolhatunk úgy is háromszöget, hogy kijelöljük az Északi-sarkot, mint az egyik sarokpontot, és onnan húzunk a Föld felszínén egy vonalat az Egyenlítőig, ez lesz az egyik oldal. Majd a Sarkon az előző vonalra merőlegesen húzunk egy másik vonalat le az Egyenlítőig ez lesz a háromszög másik oldala. Végül a két egyenlítői pontot összekötjük úgy, hogy a háromszög harmadik oldala, az Egyenlítő legyen. Mivel mindhárom csúcsban az oldalak derékszögben találkoznak a belső szögek összege 270 fok lesz, s ez nem egyezik az iskolában tanultakkal. Másik példaként, ha Magyarország legkeletibb és legnyugatibb pontján építünk egy-egy tornyot, ami pont függőlegesen áll, akkor kimutatható – mivel Magyarországon már annyit görbül a Föld – hogy ezek nem lesznek párhuzamosak. Tehát ilyen alapon akkor a gömbi geometria sokkal jobban leírja a viszonyokat, mint a sík geometria. De mégis, hogyha mondjuk, építek egy házat, és szeretném, hogy a padló vízszintes legyen, akkor mégis a síkgeometriát érdemes használni. Mert ha gömb alakú lenne a nappali, akkor legurulnának a bútorok. Tehát az mind helyzetfüggő, hogy mikor milyen matematikai modellt alkalmazunk. Visszatérve az örökérvényűségre, a matematika szabályai az 1900-as évektől kezdődően lettek örökérvényűek. Például az 1700-as, 1800-as években még a nagy európai matematikusok is azt mondták, hogy negatív számok márpedig nincsenek. Tehát a diákok, akik most szenvednek a negatív számokkal a suliban, nem véletlenül szenvednek, hiszen annak idején még a nagy matematikusok is szenvedtek ettől. Azok is, akik azt vallották, hogy nem léteznek, aztán kiderült, hogy mégis szükség van rájuk. Hosszú-hosszú évekig a matematika az úgy jött létre, hogy amire szükség volt, azt bevették a matematikába, és ha nem vezetett ellentmondáshoz, akkor benne maradt. Ha meg ellentmondáshoz vezetett, akkor meg valamit ki kellett találni. Aztán az 1900-as évek elején egy David Hilbert nevű német matematikus, George Cantor, meg még jó páran, elkezdtek azon dolgozni, hogy rendbe tegyék a matematikát. Azért, hogy ne legyenek benne ellentmondások, ne legyenek benne előrángatott dolgok, amiről valaki kitalálja, hogy ez így van. Ekkor hozták létre az axiomatikus matematikát, aminek az a lényege, hogy axiómák, definíciók, és tételek vannak, tehát lett egy ilyen rendszerben felépített matematika. De hangsúlyozom, hogy ezt már egy addig is létező, meglévő matematikára építették rá. Az emberiség először elkezdte használni a matematikát, és jóval utána tették igazán rendbe, és akkor lett ez ilyen. Tehát amikor a diákoknak kezdik el tanítani, akkor nem csoda, hogy nem értik, hiszen az egész emberiségnek 2-3 ezer év kellett ahhoz, hogy a matematikában eljussanak a mostani állapotba. Ma már tulajdonképpen nincsenek benne ellentmondások, és nincsenek benne semmiféle traumatikus dolgok.
– Még térjünk kissé vissza arra, hogy hogyan is viszonyul egymáshoz az absztrakt és a valóságos világ a matematikában?
– Igen, ez egy érdekes kérdés, tulajdonképpen a matematika működéséről szól. A matematika ugye nem létező dolgokkal foglalkozik, és nem létező dolgokról mond minket körülvevő igazságokat. De akkor fölmerülhet az a kérdés, hogy hát ennek mi értelme van? Mi értelme van a nem létező dolgokról bebizonyítani tételeket és különböző állításokat. A válasz az, hogy azért, mert hogyha a valóságban létezik egy probléma, akkor az általában olyan bonyolult és összetett, hogy nagyon nehéz lenne itt megragadni. Ezért átvisszük az absztraktba, vagyis a matematika világába, oda, ahol sokkal kevesebb dologgal kell foglalkozni. Ott megoldjuk valamilyen módon, és aztán utána ezt visszaültetjük a valóságba. Tehát amikor a matematika megfogalmaz egy állítást, mondjuk a körrel kapcsolatosan, akkor ez a világban létező összes kör alakú dolgokra valamilyen módon igaz lesz. Ha a matematika megfogalmaz valamit a kockákkal vagy a téglatestekkel kapcsolatosan, akkor ez általában a világunkban lévő minden ilyen alakú dolgokra is igaz lesz, a házakra, mindenféle építményekre, stb. Ez alapvetően a matematika lényege, hogy bár egy absztrakció és egy nem létező univerzum, de mégis a létező világunkban lévő létező problémákra ad megoldási módszereket.
– Tehát azt mondja, hogy mindenképpen van gyakorlati haszna is ennek az absztrakt világban élő tudománynak?
– A matematikának csak gyakorlati haszna van, e nélkül nem jött volna létre. Vegyük, mondjuk az irodalmat. Elolvasunk egy verset, ettől valamilyen érzések alakulnak ki bennünk, jól vagy rosszul érezzük tőle magunkat. De ennek olyan igazi gyakorlati haszna nincsen. Ettől nem fogunk tudni hidat építeni, és átkelni az egyik partról a másikra, vagy nem fogjuk tudni kifizetni a villanyszámlákat. Például, ha a történészek kiderítenek egy nagyon fontos összefüggést, hogy mondjuk az inkáknál mi történt, az egy nagyon izgalmas dolog, elolvassuk, megnézzük a tévében, de igazából ez nem fogja megrengetni a mai életünket. A matematika viszont igen, mert ez a mindennapokban jelen van, tehát az összes létező problémánk matematikai megoldással oldható meg. Kezdve onnan, hogy vannak műszaki problémák, hogy legyen áram, hogy legyen víz, hogy járjanak a villamosok és az autók, egészen odáig, hogy a fizetésünket át tudják utalni a bankszámlára. De az is fontos, hogy ezt azután ne tudják onnan lelopni, mert például létezik az a titkosítási módszer, amivel a bankkártyák működnek. Ezt úgy hívják, hogy RSA titkosítás, és ez egy szép példája annak, hogy hogyan is működik a matematika.
– Nos, ebben az esetben hogyan?
-Volt egy Fermát sejtésnek nevezett kérdés, ami nagyon leegyszerűsítve úgy néz ki, hogy van, a Püthagorasz tétel, ami a derékszögű háromszögek oldalaira vonatkozik. Nevezetesen, hogy „a” négyzet + „b” négyzet = „c” négyzet. Matematikusok százai próbáltak arra rájönni, hogy ez az összefüggés igaz-e más hatványokra is, például vajon ez köbre is működik-e? Tehát, hogy van-e olyan a „b” és „c” egész szám, hogy az „a” a köbön, meg a „b” a köbön egyenlő „c” a köbönnel. Vagy esetleg van-e olyan, hogy „a” a negyediken meg „b” a negyediken, egyenlő „c” a negyedikennel? Vagy úgy általánosságban bármilyen más hatvánnyal ez igaz lehet? A matematikusok elkezdtek ezen agyalni, hogy mi lehet ez a bizonyítás, és több száz éven keresztül kínlódtak vele matematikusok százai vagy akár ezrei, hogy ezt a problémát megoldják. Azt is be kell bizonyítani, hogy van, de azt is be lehet, hogy nincs ilyen számsor. A matematikus valahogy úgy működik, hogy felpörgeti az ilyen problémákra az agyát és egy csomó matematikai ágazat annak köszönheti a létezését, hogy ezt a problémát akarták valahogyan megoldani. De eközben melléktermékként fölfedeztek számelméleti, gráfelméleti és mindenféle matematikai apparátusokat. Kifejlesztettek egy olyan matematikai apparátust is, amivel ezt a problémát próbálták valahogyan megoldani. Ezt nem sikerült, viszont mellesleg kijött egy olyan összefüggés, egy olyan tétel, amire épül a jelenleg használatos összes titkosítási forma. Szóval az egész sztorinak az a lényege, hogy volt egy teljesen banális, tulajdonképpen teljesen mindegy, hogy most ez igaz-e vagy nem igaz összefüggés. Mert ennek tudása nélkül vidáman éltünk volna. De egy úgymond fölösleges probléma megoldásának a melléktermékeként megszületett egy olyan dolog, ami nélkül nem tudnánk most bankkártyával fizetni. Mert mindenki látná a tranzakciót, és akkor el tudná venni a pénzünket, meg nem tudnánk úgy titkosítva e-mailt küldeni, hogy a szomszéd asztalnál valaki ne olvassa el, hogy mi mit küldünk. Tehát ez egy nagyon szép példa arra – és nagyon sok ilyen van még, csak ez egy viszonylag látványos példa – hogy tulajdonképpen a matematika bár fölösleges dolgokkal foglalkozik, de ezeknek majd egyszer mégis csak hatalmas hatása tud lenni az életünkre.
– Ezek szerint a matematika fejlődése, még napjainkban is tart?
– Folyamatosan jönnek újdonságok, igen. Nagyon-nagyon sok újdonság jön be, a mesterséges intelligenciával valószínűleg még több fog bejönni. Ezek általában elég komplikált és elég bonyolult újdonságok. De az alapokon már nem változtatnak, mert az már megvan, ezek már csak habok a tortán tulajdonképpen. Tudjuk, hogy a tudományokban nagyon intenzív kutatások vannak, mondjuk a biológia területén, például a sejtkutatás, a sejtbiológia, a rákgyógyszerek keresése közben. De a különböző informatikai kódolásokban és egyéb eljárásokban is jönnek elő olyan problémák, amikkel a matematika elkezd foglalkozni, és nem tartják titokban a kapott eredményeket, hanem azokat közzéteszik. Ezek egy lavinát indítanak el, elkezdenek valamely irányba kutatni, és akkor újabb és újabb tételek, és újabb és újabb dolgok derülnek ki. Abba pedig most ne is menjünk bele, hogy a mesterséges intelligencia milyen távlatokat nyithat a matematika területén is, mert ennek taglalása nem csak egy másik cikk, de akár egy vastag könyv anyagát is kitöltené.
– Mit gondol, hogy miért van szükség a matematika tanítására egyáltalán? Vajon egy átlagembernek, aki nem matematikusnak, vagy fizikusnak készül, szüksége van arra, hogy matematikát tanuljon?
– Két dolog is van, ami miatt a matekot tanítják, nemcsak Magyarországon, hanem a világ összes országában, mindenhol. Gondoljuk, hogy a tízes alapú logaritmust soha nem fogjuk használni, akkor minek kell ezeket tanulni. Ez jogosnak tűnik, de én azt szoktam mondani, hogy mi értelme van, mondjuk annak, hogy elmegyünk egy konditerembe és súlyokat emelgetünk. Látszólag semmi értelme, hiszen levesszük a súlyt, fölemeljük sokszor egymás után, aztán visszatesszük ugyanoda, ahonnan fölemeltük. Vagy elmegyünk futni, körbefutjuk a házat és ugyanoda vissza. Látszólag semmi értelme az egésznek. Viszont ezeket a dolgokat nem azért csináljuk, mert ennek konkrétan valami haszna van, hanem azért, hogy kialakuljon bennünk valamilyen képesség, vagy valamilyen készség, vagy valamilyen tudás. Tehát ezek olyan dolgok, amiknek valójában nincs értelmük, miközben csináljuk őket, de a végeredménynek mégis van haszna, hiszen erősebbek, egészségesebbek leszünk, jobb lesz az állóképességünk. Az embereknek egy része azért megy futni, mert boldogabb lesz tőle. egy másik része azért megy futni, mert ugyan utálja, de tudja, hogy az egészséges. A matematikában is vannak, akiknek örömet okoz megoldani egy másodfokú egyenletet, és vannak, akiknek meg nem. De visszatérve, tehát a matematika az ugyanolyan fölösleges dolog, mint a súlyemelés, meg a futás, meg a konditerembe járás. Konkrétan nincs értelme annak, hogy én megoldok egy másodfokú egyenletet, hiszen nem azért oldjuk meg, mert ne tudnánk annak a megoldását. A tanár nem azért adja fel, mert nem tudja, hogy mi a megoldás. Azért adja fel, hogy ennek a hatására kialakuljon valami a diákban. Jobb esetben egy gondolkodásmód alakul ki a gyerek fejében, egy probléma megoldási készség. A matematika egyik haszna az, hogy ez által jobb problémamegoldók legyünk. De nem konkrétan csak azt a problémát fogjuk tudni megoldani. Mint ahogy ha valaki nagyon jól tud fekve nyomni a konditeremben akkor az valószínűleg fel fogja tudni otthon is emelni a fotelt, hogy arrébb tegye, bár a konditeremben nem a fotelokat emelgetett. Rengeteg olyan dolog előjöhet az életben, amikor egy matematikusabb gondolkodású könnyebben veszi az akadályokat. Ez egy szubjektív észrevétel, de nekem nagyon sok ügyvéd ismerősöm van, és közülük általában azok a nagyon jó ügyvédek, akik jók voltak matematikából is. Ez a tudás tehát előnyt jelentett számukra egy teljesen más szakterületen is. Van egy másik oka is annak, hogy a matematikát tanítják az iskolákban, nevezetesen az, hogy a matematika az egy idegen nyelv. A magyar nyelv a mi első nyelvünk, amit megtanulunk még gyerekkorunkban, és akkor utána tanulunk még angolul, németül, spanyolul ki-ki mit. A matematika is egy nyelv, a tudományok nyelve, és nem csak a természettudományoké, mert aki történésznek, régésznek tanul, az is nagyon sok matematikával találkozik például a kormeghatározásoknál. Tudni kell a matematikát annak is, aki később közgazdász, mérnök informatikus, űrkutató, biológus stb. akar lenni. De ugyanígy fontos a zene, a művészetek, a költészet irodalom területén is. Még egy dolog, nem csak tanulni, de jól tanítani is nehéz a matematikát. Mivel modern időket élünk, Magyarországon is már kezdik pedzegetni, de inkább Nyugat-Európában, s főleg az USA-ban kitalálták, hogyha ennyi probléma van vele, válasszuk a könnyebb utat, akkor inkább ne is tanítsuk ezt a tárgyat. Ez viszont nem megoldás, hiszen15-20 év múlva nem lesznek mérnökeik, s mint az előbb mondtam, szinte az élet minden területén hasznos, sőt szükséges a matematika ismerete.
– Végezetül néhány mondatban mutassa be azt a weboldalt – mateking.hu – melyet ön indított, s jelenleg is vezetője.
– Ezt a weboldalt közel 15 éve azért hoztam létre, hogy a tudásomat – mint matematikatanár – ne csak a katedrákon, hanem online térben is át tudjam adni. Be akartam bizonyítani, hogy úgy is lehet matekot tanítani, hogy közben még szórakozik is az, aki tanul, s ráadásul minden elképesztően érthető. Célomat siker koronázta, általános, középiskolás és egyetemi szintű anyagainkat több mint kétszázezer idelátogató diák és érdeklődő tekintette meg és remélhetőleg hasznosította az általunk leközölteket. A matematika rejtelmeibe bevezető anyagok nagy része ingyenesen elérhető, de mindhárom kategóriában lehet egy jelképes összegért – félévente ez az ár nincs még ötezer forint sem – további tudáshoz is hozzájutni. Jómagam hiszek a matematika elsajátíthatóságában, s ezt a visszajelzések alapján már nagyon sok látogatónk velünk együtt vallja.
Tölgyesi Tibor
A X- és Telegram-csatornáinkra feliratkozva egyetlen hírről sem maradsz le!“Ön, a Meta jogtanácsosaként egyetért azzal, hogy vannak olyanok, akik a törvények felett állnak?”
